Не секрет, что большинство аниме распространяется с оригинальной японской озвучкой, чтобы сохранить ту неповторимую атмосферу, которую создают своими голосами профессиональные сейю (актеры озвучки). Недаром официальные локализованные релизы (что у нас, что на западе) не содержащие оригинальной японской голосовой дорожки, в 2-3 раза дешевле аналогичных, но с японской дорожкой.
Однако японский язык у нас  знают далеко не все, поэтому добрые люди (т.н. фансаберы) создают к аниме субтитры (сабы).
Чаще всего цепочка для русского анимешника вытлядит так: аниме на языке-оригинале -> фансаберские субтитры на английском -> руский перевод английских сабов. Гораздо реже переводят сразу с японского на русский. Кстати, как правило, русская голосовая озвучка для пиратских аниме есть просто чтение сабов

Как смотреть с субтитрами:
В общем случае субтитры делят на три вида:
- сабы для ДВД-видео, включаются и отключаются средствами ДВД плейера;
- сабы, встроенные в видеоряд (так называемые хардсабы) - неотключаемые (этим особенно любят грешить американские фансаберы);
- сабы, идущие в виде отдельных небольших (10-50 кБ) файлов (внешние сабы). О них-то в дальнейшем и пойдет речь.
   Типичные расширения для внешних сабов - *.srt, *.ssa, *.smi, *.rt, *.fsb, *.s2k, *.js. Открываются в большинстве проигрывателей, например в Zoomplayer и BSPlayer
Для открытия достаточно отметить в меню плейера опцию  "показывать субтитры", открыть видео, открыть из меню плейера субтитры.
Для большей ясности объясню на примере BSPlayer:
в контекстном меню (правая кнопка мыши) зайти в меню "Субтитры" и поставить галочку напротив опции "Показывать субтитры". После этого в контекстном меню жамкануть на "Открыть субтитры" и выбрать файл с нужными субтитрами. Потом запустить воспроизведение аниме.
Zoomplayer настраивается примерно так же. Его плюс перед BSPlayer - больший "ассоритмент" поддерживаемых сабов, в том числе и поддержка зонального форматирования в ass/ssa-сабах.
Подключение субтитров может происходить и автоматически, если в меню плейера уже отмечено "Показывать субтитры", а видеофайл и файл с сабами лежат в одной папке, и их названия совпадают.
Кроме того, рекомендую поставить VobSub (есть в комплекте почти любого кодекпака типа klmcodec и иже с ним). Только с VobSub-ом обеспечивается полная и корректная поддержка сабов типа ssa/ass со всеми вкусностями вроде зонального форматирования и пр. Кроме того, после установки  VobSub можно смотреть аниме с субтитрами почти всех типов прямо в ВиндоусМедиаПлейере (по умолчанию WMP поддерживает сабы лишь в формате smi)

Где брать готовые субтитры:
Наиболее продвинутый сайт в рунете, где энтузиасты выкладывают различные варианты внешних субтитров к огромному количеству аниме - это Kage project

Простое редактирование (и ретаймирование) субтитров
Иногда случается, что субтитры, так сказать "не попадают в реплики", т.е. отстают или опережают видеоряд.
Иногда (очень редко) это связано с неправильным перекодированием видео, в результате которого изменились частота кадров и длительность видеоряда. Исправить можно, но очень сложно - исходную длительность видео восстановить практически невозможно (особенно когда ее не знаешь), а отставание/опережение субтитров в разных частях видео разное.
Но такие случаи, как я уже сказал, бывают редко. Гораздо чаще несовпадение таймкода сабов с видеорядом связано с тем, что автор субтитров (фансаббер) для их создания пользовался другой редакцией этого аниме, например, с более длинным опенингом (вступлением), или с вырезанной или добавленной немой сценой. В этом случае, с самого начала аниме или с некоторого момента, отставание/опережение сабов происходит на определенную, фиксированую величину (измеряемую обычно в миллисекундах - ms - 0,001 с). Для исправления достаточно подправить таймкод субтитров.
Сделать это можно с помощью различных редакторов субтитров